Racionální lineární závislosti periodických bodů logistického zobrazení

Abstract

Body s periodou n polynomu f jsou právě kořeny, a tedy i prvky rozk- ladového nadtělesa, polynomu fn (x)−x, kde fn značí n-tou iteraci polynomu f. V práci se budeme zabývat popisem racionálních lineárních závislostí bodů s periodou n polynomu 4x(1−x), který určuje takzvané logistické zobrazení. Předvedeme popis závislostí pro n = 1, . . . , 5 a uvedeme poznatky získané o případu n = 6. Využívat při tom budeme počítačem spočtené rozklady polynomů nad racionálními čísly a jejich konečnými rozšířeními. Z rozkladů pomocí znalostí z komutativní a lineární algebry odvodíme souřadnice period- ických bodů vzhledem k nějaké bázi jejich lineárního obalu, což nám umožní jednoduše popsat jejich závislosti. Na závěr práce zformulujeme algoritmus na popis závislostí pro obecné n.

Period-n points of a polynomial f are roots, and hence elements of the splitting field, of the polynomial fn (x) − x, where fn denotes the nth iterate of f. In the thesis, we will focus on describing rational linear dependencies of period-n points of the polynomial f(x) = 4x(1 − x), which defines the so-called logistic map. We will present a description of the dependencies for n = 1, . . . , 5 and a partial result for n = 6. We will be using computer- calculated factorizations of polynomials over rational numbers and some finite field extensions. The factorizations will give us coordinates of the periodic points relative to some basis of their linear span, which will allow us to use a simple way of describing their dependencies. In the end of the thesis, we will put together an algorithm for describing the dependencies for a general n.