Hry na grafech

Abstract

V této práci studujeme některé vlastnosti jedné hry typu cop&robber, při které se dva hráči - Policista (Cop) a Lupič (Robber) - střídají v tázích na konečném neorientovaném grafu. Oba hráči se pohybují rychlostí nanejvýš jedna hrana za tah a znají v každém okamžiku celý stav hry. Pokud se Policista kdykoli ocitne na stejném poli jako Lupič, vyhraje Policista. Pokud k tomuto nikdy nedojde, vyhrává Lupič. Hry tohoto typu jsou důležité jako modely prohledávání grafu i pro svou souvislost s invarianty zdvihu grafu. Zabýváme se blíže vlastnostmi grafů, na kterých existuje výherní strategie pro Policistu (tzv. cop-win grafy), a hledáním nejlepších strategií pro oba hráče. Již dříve bylo známo, že počet tahů, za který je Policista schopen vyhrát na jakémkoli cop-win grafu na n vrcholech je zhora omezen n 3, a existují grafy vyžadující n 4. V této práci ukazujeme, že tento počet je právě n 4.

In this thesis we study properties of one cop&robber game. In this game two players (Cop and Robber) take turns in moving on a finite undirected graph. Both players move with the speed at most one edge per turn. They both know the complete game status. If at any time Cop shares a vertex with Robber, Cop wins. If that never happens, Robber wins. Games of this type are important as models of searching in graphs and networks and for the connection to the width parameters of graphs. We closely examine the class of graphs with a winning strategy for Cop (the so called cop-win graphs) and construct best strategies for both Cop and Robber. The previously known results include the fact that the number of moves in which Cop can catch Robber on every cop-win graph on n vertices is bounded by n3 and there are graphs which require n 4. We show that this number is exactly n 4.