Logaritmicky optimální investování

Abstract

1. Abstrakt Nechť máme kapitál, který budeme redistribuovat do nějakých investičních příležitostí. Finanční ohodnocení těchto investic bude tvořit posloupnost nezávis- lých, stejně rozdělených náhodných vektorů nabývajících konečně mnoha hodnot. Při každé investici budeme znát a brát v potaz celou historii těchto ohodnocení. Ukazuje se, že pokud naší strategií bude vždy maximalizovat střední hodnotu lo- garitmu hodnoty investice, označme ji Λ∗ , pak je tato strategie v určitém smyslu asymptoticky nejlepší možná. Pokud libovolná strategie Λ se limitně neblíží k Λ∗ a pokud x jde limitně k nekonečnu, potom jednak střední hodnota času, za který si vyděláme alespoň x užitím Λ∗ , je o nekonečno menší, než kdybychom užili Λ, a také si vyděláme nekonečněkrát více při strategii Λ∗ . 1

1. Abstrakt Suppose we have a capital, which we will redistribute into investment op- portunities. The financial valuation of these investments will be a sequence of independent, identically distributed random vectors that acquire finite amount of values. We will have full knowledge of the entire history of these valuations before each investment. It turns out that if our strategy is to always maximizes the mean value of the logarithm of the investment value, denoted by Λ∗ , then this strategy is asymptotically the best one possible. If strategy Λ is not asymptotically close to Λ∗ and if x goes to infinity, then the mean of the time we earn atleast x using Λ∗ is infinitely smaller than the time if we used Λ. We also earn infinitely times more money using the strategy Λ∗ . 1