Application of the Nambu mechanics formalism in atmospheric dynamics

Abstract

Nambova mechanika je zobecnění Hamiltonovské fyziky, které používá více zachovávajících se veličin jako Hamiltoniány. V této práci shrneme principy Nambovy mechaniky a ukážeme její použití na rovnicích nestlačitelného proudění a rovnicích mělké vody. Nambův tvar rovnic pro nestlačitelné proudění je zapsán na základě jejich Hamiltonovského tvaru a zachovávajících se veličin. Na příkladu rovnic mělké vody je představena obecnější metoda odvození Nambova tvaru. Metoda je založená pouze na znalosti Hamiltoniánu a momentů potenciální enstrofie. Výsledné rovnice mělké vody jsou pak ve tvaru součtu Nambových a Poissonových závorek. V případě použití klasické enstrofie jsou odvozené rovnice až na násobek ekvivalentní s běžně používaným tvarem rovnic mělké vody. Zápis pomocí antisymetrických Nambových závorek je užitečný ke konstrukci numerických schémat a teorie Nambovy mechaniky může být použita například pro studium odchylek od stacionárního proudění.

Nambu mechanics is a generalization of Hamiltonian mechanics that uses multiple conserved quantities as Hamiltonians. In this thesis, we review Nambu mechanics and its application on the equations of incompressible flow and shallow water equations. The Nambu form of the equations of incompressible flow is guessed based on its Hamiltonian form and derived conserved quantities. With the example of the shallow water equations a more general method of Nambu form derivation is illustrated. Based only on the knowledge of the Hamiltonian and the potential enstrophy moments conservation, the shallow water equations are written as a sum of the Nambu brackets and a Poisson bracket. For the classical potential enstrophy, the derived equations are up to constant factors equivalent to the known form of the shallow water equations. The notation by antisymmetric Nambu brackets is convenient for finding conservative schemes and the theory can be also used for example for the study of deviations of flow from stationary flow.