Weyl and Conformal Symmetries

Abstract

Otázka zda škálová invariance vede na plnou konformní invarianci pro klasické polní teorie ve speciální teorii relativity, byla zodpovězena v literatuře za využití Weylovy a difeomorfní symetrie, které, při vhodném rozšíření, dané teorie realizují současně. V nedávné studii byla vyslovena domněnka, že pro Liouvillovu teorii je situace odlišná, jelikož tato teorie neumožňuje realizaci obou symetrií (Weylovské a difemorfní) najednou. V této práci je ona domněnka zkoumána. V první části je zkoumána konformní symetrie a příslušné Wittovy a Virasorovy algebry. Dále je zkoumán vztah mezi škálovou a konformní invariancí s využitím přístupu Weylovy a Ricciho kalibrace. Poslední část se věnuje Liouvillově polní teorii. Je zde předložen důkaz o nekompatibilitě Weylovy a difeomorfní invariance. Je ukázáno, že konkrétní volba Weylova potenciálu vedoucí k nulové stopě tenzoru energie a hybnosti vede na akci, která není skalárem při difeomorfní transformaci. Nástin zkoumání této "klasické gravitační anomálie" je prezentován.

The problem whether scale invariance implies full conformal invariance, for special relativistic classical field theories, was resolved in the literature by exploiting the Weyl and diffeomorphic symmetries held simultaneously by the suitably improved corresponding theories. In a recent study it was conjectured that, for Liouville field theory, the case is different, as such theory could not have both symmetries (Weyl and diffeomorphic) at once. In this thesis we investigate that conjecture. In the first part the conformal symmetry, and the associated Witt and Virasoro algebras, are revised. Next, we review the relationship between scale and conformal invariance, using the approach of Weyl and Ricci gauging. The last part is devoted to the Liouville field theory. We prove there the incompatibility of Weyl and diffeomorphic invariance, by showing that the particular choice of the Weyl potential, necessary to have traceless energy-momentum tensor, gives rise to an action that is not a scalar under diffeomorphisms. A preliminary study of this "classical gravitational anomaly" is also performed.