Afinní zobrazení a transformace v rovině s řešenými příklady

Abstract

Analytical geometry widely uses the apparatus of linear algebra, it is, of course, its natural application. The aim of this thesis is the theoretical interconnection, for many students still abstract, bases of the linear algebra with their practical application in the analyti- cal geometry, especially in affine transformations and their use in the solved examples in the plane. This thesis is intended to put concepts known from the course of Linear algebra (homomorphism, eigenvalues/eigenvectors, orthogonal matrices, transition matri- ces...) into context with practical using in the analytical geometry, whether in the form of proofs of important theorems using the linear algebra and arithmetic apparatus, or the following solved examples. The aim of the examples is to provide some insight or guidance on the solution of the same or analogous tasks. The theory and examples are in some cases supplemented with illustrations for better clarity. The work is divided into several parts for greater clarity. The introduction is repeated important concepts of linear algebra such as group, field, vector space, Euclidean space, linear mapping (homomorphism), change of coordinates matrix, eigenvalue/eigenvector of the matrix. It also switches to affine point space, affine coordinate system, transformation equation for...

Analytická geometrie široce využívá aparát lineární algebry, je ostatně její přirozenou aplikací. Cílem této práce je propojení teoretických, pro mnohé studenty stále abstrakt- ních, základů lineární algebry právě s jejich praktickou aplikací v analytické geometrii, konkrétně v afinních transformacích a jejich užitím v řešených příkladech v rovině. Tato práce si klade za snahu dát do souvislosti pojmy známé z kurzu Lineární algebra (ho- momorfismy, vlastní čísla/vektory, ortogonální matice, matice přechodu...) s praktickým využitím v oblasti analytické geometrie, ať už formou důkazů důležitých vět, využívajících právě aparát lineární algebry a aritmetiky, nebo navazujících řešených příkladů. Cílem ře- šených příkladů je pak poskytnout jakýsi vhled či návod na řešení stejných či analogických úloh. Věty i příklady jsou v některých případech pro lepší názornost doplněny obrázky. Práce je pro větší přehlednost rozdělena do několika částí. V úvodu jsou zopakovány důležité pojmy lineární algebry jako je grupa, těleso, vektorový prostor, euklidovský vekto- rový prostor, lineární zobrazení (homomorfismus), matice přechodu od báze k bázi, vlastní číslo/vektor matice. Dále se přechází na afinní bodový prostor, afinní souřadnice bodu, transformační rovnice pro souřadnice bodů při přechodu k jiné soustavě...