Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise

Abstract

Název práce: Stochastické diferenciální rovnice s Gaussovským šumem Autor: Josef Janák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V práci studujeme stochastické parciální diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma neznámými parametry. Nalezneme tvar silně spojité semigrupy (S(t), t ≥ 0) pro hyperbolický systém řízený Brownovým pohybem a také tvar kovarian- čního operátoru invariantní míry Q (a,b) ∞ . Na základě ergodických vět odvodíme dvě vhodné skupiny odhadů ve smyslu minimálního kontrastu a dokážeme jejich silnou konzistenci i asymptotickou normalitu. Dále se zabýváme odhady založenými na "po- zorovacím okně", což vede k dalším skupinám silně konzistentních odhadů. Popisu- jeme jejich vlastnosti a speciální případy i jejich asymptotickou normalitu. Výsledky aplikujeme na stochastickou vlnovou rovnici s Brownovým šumem a ilustrujeme je v mnoha počítačových simulacích. Klíčová slova: Stochastická hyperbolická rovnice, Ornstein-Uhlenbeckův proces, invariantní míra, odhady parametrů, silná konzistence, asymptotická normalita.

Title: Stochastic Differential Equations with Gaussian Noise Author: Josef Janák Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: Stochastic partial differential equations of second order with two un- known parameters are studied. The strongly continuous semigroup (S(t), t ≥ 0) for the hyperbolic system driven by Brownian motion is found as well as the formula for the covariance operator of the invariant measure Q (a,b) ∞ . Based on ergodicity, two suitable families of minimum contrast estimators are introduced and their strong consistency and asymptotic normality are proved. Moreover, another concept of estimation using "observation window" is studied, which leads to more families of strongly consistent estimators. Their properties and special cases are descibed as well as their asymptotic normality. The results are applied to the stochastic wave equation perturbed by Brownian noise and illustrated by several numerical simula- tions. Keywords: Stochastic hyperbolic equation, Ornstein-Uhlenbeck process, invariant measure, paramater estimation, strong consistency, asymptotic normality.