Konvexní množiny v duálních Banachových prostorech

Abstract

The main topic of this thesis is separation of points and w∗ -derived sets in dual Banach spaces. We show, that in duals of reflexive spaces w∗ -derived set of a convex subset coincides with its w∗ -closure. We also show, that subspace of a dual reflexive space is norming, if and only if it is total. Later we show, that in the dual of every non-reflexive space we can find a convex subset whose w∗ -derived set is not w∗ -closed. Hence, this statement is a characterisation of reflexive spaces. Next we show, that subspaces in duals of quasi-reflexive spaces are norming, if and only if they are total. Later we show, that in the dual of every non-quasi-reflexive space we can find a subspace which is total but not norming; thus, the previous statement is a characterisation of quasi-reflexive spaces. We also show, that for absolutely convex subsets of duals of quasi-reflexive spaces w∗ -derived set coincides with w∗ -closure. In the last section we define w∗ -derived sets of higher orders and show, that in the dual of every non-quasi-reflexive separable Banach space there exist subspaces of order of each countable non-limit ordinal and no other. 1

Práce se zabývá oddělováním bodů a w∗ -derivovanými množinami v duálech Banachových prostorů. Je v ní ukázáno, že v duálech reflexivních prostorů pro konvexní podmnožiny splývá w∗ -derivovaná množina s w∗ -uzávěrem a oddělování bodů s normujícností. Později je v práci ukázáno, že v duálu každého nereflexivního prostoru lze vždy najít konvexní množinu, jejíž w∗ -derivovaná množina není w∗ -uzavřená, tedy je tato vlastnost charakterizací reflexivních prostorů. Dále se práce zabývá w∗ -derivovanými množinami v kvazireflexivních prostorech. Je v ní ukázáno, že v duálech kvazireflexivních prostorů splývá pro absolutně konvexní množiny w∗ -derivovaná množina s w∗ -uzávěrem a oddělování bodů s normujícností. Později je v ní ukázáno, že v duálu každého nekvazireflexivního prostoru existuje podprostor, který odděluje body, ale není normující, tedy je tato vlastnost charakterizací kvazireflexivních prostorů. Nakonec jsou v práci definovány w∗ -derivované množiny vyšších řádů a je v ní ukázáno, že v duálu každého nekvazireflexivního separabilního Banachova prostoru existují podprostory všech spočetných nelimitních řádů a žádného jiného. 1