Comparison of Brill waves with the fields of singular rings

Abstract

Circular matter rings are a natural zero approximation of stationary and axially symmetric structures which appear in astrophysics. If the rings are infinitesimally thin (line sources), they are singular, which in the general relativistic description typically implies weird deformation of space in their vicinity. In particular, and contrary to the Newtonian picture, such rings even tend to behave in a strongly directional manner. One solution is to consider non-singular, extended sources (toroids), which may however be difficult to treat exactly and/or be unsatisfactory in other respects. In this thesis we check another option, namely to abandon the "real matter" completely and consider a non-singular source represented by mere curvature arranged, at least at some instant, in a pattern possessing the above symmetries. One such solution of Einstein's equations is known as the Brill waves; we study its properties at the moment of time symmetry (when it is momentarily static), in order to compare it with the space-times of matter rings. 1

Tenké, hmotné prstence jsou první přirozenou aproximací osově symetrických astrofyzikálních objektů. Pokud jsou prstence nekonečně tenké (neboli tvoří "čárový zdroj"), pak jsou singulární, což v obecné rel- ativitě často naznačuje zvláštní deformaci prostoru v okolí samotného prstence. Na rozdíl od klasického (Newtonovského) případu se tato řešení často chovají "směrově", tj. jejich vlastnosti závisí na směru, ze kterého je prstenec pozorován. Jedním řešením je uvažovat objemový zdroj tvaru toru. Tuto úlohu je ovšem obtížné vyřešit přesně, nebo je nevhodná v jiných ohledech. V této práci jsme prověřili jinou možnost - zcela jsme opustili hmotné zdroje a nahradili je nesingulárním zdrojem reprezentovaným pouhým zakřivením prostoročasu, který vykazuje symetrie původního řešení. Jedním takovým řešením Einsteinových rovnic jsou takzvané Brillovy vlny, které jsme studovali v okamžiku časové symetrie, abychom porovnali vlastnosti obou prostoročasů. 1