Mountain climbing theorem

Abstract

Title: Mountain climbing theorem Author: Kristýna Šmídová Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D., Department of Mathematical Ana- lysis Abstract: The subject of this theses is the so-called Muntain Climbers' Pro- blem. We ask for which pairs of continuous functions f, g : [0,1] → [0,1] such that f(0) = g(0) = 0 and f(1) = g(1) = 1 there exist some functions k, h with the same properties such that f (k(x)) = g (h(x)) for all x in the inter- val of [0,1]. For piecewise injective functions we prove the existence using a convenient graph model and handshaking lemma. For locally non-constant functions we provide a constructive proof using uniform convergence. There is also an example of pair of continuons functions for which there exists no suitable pair of functions that solve the problem. The aim is to provide a clear and visual explanation of all the mathematical constructions included. Keywords: continuous function, mountain climber, uniform convergence, hand- shaking lemma

Název práce: Mountain climbing theorem Autor: Kristýna Šmídová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Předmětem této práce je tzv. Mountain climbers' problem. Práce se zabývá otázkou, kdy pro dvojici spojitých funkcí f, g : [0,1] → [0,1], spl- ňujících f(0) = g(0) = 0 a f(1) = g(1) = 1, existuje dvojice funkcí k, h se stejnými vlastnostmi taková, že f (k(x)) = g (h(x)) pro všechna x z intervalu [0,1]. Pro po částech prosté funkce je existence dokázána za pomoci vhodné grafové reprezentace a principu sudosti, pro lokálně nekonstantní funkce je existence dokázána konstrukčně za pomoci stejnoměrné konvergence. Dále je uveden příklad dvojice funkcí, pro které vyhovující dvojice funkcí neexistuje. Cílem práce je s použitím vhodných ilustrací názorně a srozumitelně vysvět- lit příslušné matematické konstrukce. Klíčová slova: spojitá funkce, mountain climber, stejnoměrná konvergence, princip sudosti