http://hdl.handle.net/20.500.11956/1903 Faculty of Mathematics and Physics Wed, 22 Jul 2026 00:35:29 GMT 2026-07-22T00:35:29Z https://https://dspace.cuni.cz:443/bitstream/id/f7921428-0cd0-4839-be91-e6c28c038b69/ http://hdl.handle.net/20.500.11956/1903 http://hdl.handle.net/20.500.11956/211541 Erdős space This thesis explores the topological properties and characterizations of Erdős space (E) and complete Erdős space (Ec). Originally introduced by Paul Erdős in 1940 as examples of totally disconnected yet one-dimensional spaces, these sets serve as the archetypal models for the class of almost zero-dimensional spaces. We establish the fundamental properties of almost zero-dimensional spaces proving they are hereditary, productive, totally disconnected and at most one dimensional. A key topological characterization is presented, identifying these spaces as the set of endpoints of an R-tree. We then focus on structures of E and Ec. By introducing the Lelek function and the Lelek fan, the author demonstrates that complete Erdős space can be represented as a dense set of endpoints in a smooth fan. The thesis concludes with a core characterization theorem, proving that every almost zero-dimensional space can be embedded into both Erdős and complete Erdős space, and can be represented as the graph of a semi-continuous function over a zero-dimensional domain.; Tato práce se věnuje topologickým vlastnostem a charakterizacím Erdősova (E) a úplného Erdősova prostoru (Ec). Tyto prostory, původně představené Paulem Erdősem v roce 1940 jako příklady úplně nesouvislých, a přesto jednodimenzionálních prostorů, slouží jako charakteristické prostory pro třídu prostorů dimenze skoro nula. V práci jsou stanoveny základní vlastnosti prostorů dimenze skoro nula a dokazujeme, že jsou dědičné, produktivní, úplně nesouvislé a nejvýše jednodimenzionální. Je představena klíčová to- pologická charakterizace, která tyto prostory identifikuje jako množiny koncových bodů R-stromu. Následně se text zaměřuje na strukturu E a Ec. Autor zavedením Lelkovy funkce a Lelkova vějíře demonstruje, že úplný Erdősův prostor lze reprezentovat jako hustou množinu koncových bodů v hladkém vějíři. Práce je zakončena hlavní větou o charakterizaci, která dokazuje, že každý prostor dimenze skoro nula lze vnořit do Erdő- sova i úplného Erdősova prostoru a lze jej reprezentovat jako graf polospojité funkce s definičním oborem dimenze nula. Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/20.500.11956/211541 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/20.500.11956/211540 Veta o izomorfizme štandardných borelovských priestorov The subject of this bachelor's thesis is the complete classification of standard Borel spaces formulated in the Borel Isomorphism Theorem. This theorem states that standard Borel spaces with the same cardinality are identical from the perspective of Borel sets, up to an isomorphism. In this work, we present the complete proof of this theorem in a single, self-contained text, expanding the individual steps into greater detail compared to the publication on which this thesis is based. As part of the proof, we derive several propositions concerning Polish spaces that are of independent significance. For instance, we establish that any Polish space can be uniquely decomposed as a disjoint union of a perfect set and a countable open set. Furthermore, we examine the relationships between the Cantor space, the Baire space, and a general Polish space.; Predmetom tejto bakalárskej práce je úplná klasifikácia štandardných borelovských priestorov formulovaná vo vete o borelovskom izomorfizme, ktorá nám hovorí, že štan- dardné borelovské priestory s rovnakou kardinalitou sú až na izomorfizmus totožné z hľa- diska borelovských množín. Spracujeme v nej celý dôkaz tejto vety do jedného uceleného textu, pričom jeho jednotlivé kroky rozvedieme do väčších detailov v porovnaní s publi- káciou, z ktorej práca vychádza. V rámci dôkazu obdržíme viaceré tvrdenia o poľských priestoroch, ktoré majú samostatný význam. Napríklad získame, že poľský priestor sa dá jednoznačne napísať ako disjunktné zjednotenie perfektnej a spočítateľnej otvorenej množiny. Taktiež sa pozrieme na súvislosť medzi Cantorovým, Baireovým a všeobecným poľským priestorom. Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/20.500.11956/211540 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/20.500.11956/211539 Soulution of one-dimensional scalar variational problems This thesis studies the optimal shape of a plant stem balancing bending stiffness, gravity, and light-seeking. We combine the Beer-Lambert law with Euler-Bernoulli beam theory to formulate a fourth-order nonlinear boundary value problem. The governing equation is derived using the calculus of variations. We solve six limiting cases analytically and the full problem numerically using MATLAB's bvp4c. Stability is verified through the second variation. The key finding is that the ratio between gravitational load and light force determines whether phototropism matters: applied to wheat and sunflower, we show that wheat responds visibly to light while sunflower behavior is dominated by gravity, despite both having similar flexural rigidity. The singular perturbation structure of the zero-stiffness limit is identified. The model provides a simple variational framework connecting plant shape optimization with beam mechanics.; Tato práce studuje optimální tvar stonku rostliny vyvažující ohybovou tuhost, gravi- taci a orientaci ke světlu. Kombinujeme Beerův-Lambertův zákon s Eulerovou-Bernoulliho teorií nosníků, abychom formulovali nelineární okrajovou úlohu čtvrtého řádu. Rovnice je odvozena pomocí variačního počtu. Řešíme šest hraničních případů analyticky a celý problém numericky pomocí MATLAB bvp4c. Stabilita je ověřena pomocí druhé variace. Klíčovým zjištěním je, že poměr mezi gravitačním zatížením a silou světla určuje, zda je fototropismus důležitý: při aplikaci na pšenici a slunečnici ukazujeme, že pšenice viditelně reaguje na světlo, zatímco slunečnice je ovládána gravitací, přestože obě mají podobnou ohybovou tuhost. Je identifikována singulární perturbační struktura limity pro nulovou tuhost. Model poskytuje jednoduchý variační rámec spojující optimalizaci tvaru rostlin s mechanikou nosníků. Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/20.500.11956/211539 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/20.500.11956/211538 Double Oracle Algorithm for Games with Non-compact Strategy Sets The Double Oracle algorithm computes an equilibrium of a game by iteratively finding an equilibrium of a subgame and updating strategy sets via best responses to the current equilibrium. Convergence is known for infinite continuous two-player zero-sum games with compact strategy sets. This thesis studies an extension to infinite continuous two- player zero-sum games with non-compact strategy sets. The main obstacles are existence of an equilibrium, existence of best responses, and existence of a weakly convergent subsequence in a sequence of probability measures. We apply literature to state sufficient conditions for existence of an equilibrium and of best responses. We show as a novel corollary that if one of the strategy sets is compact, then the key assumptions for existence of a solution and existence of best responses are equivalent. We address the possible convergence of the algorithm.; Double Oracle algoritmus počítá ekvilibrium hry iterativním hledáním ekvilibrií pod- her a aktualizací množiny strategií o nejlepší odpovědi na aktuální ekvilibrium. Kon- vergence k ekvilibriu hry je dokázána pro nekonečné spojité dvouhráčové zero-sum hry s kompaktními množinami strategií. Tato práce zkoumá rozšíření algoritmu pro neko- nečné spojité dvouhráčové zero-sum hry s nekompaktními množinami strategií. Hlavními překážkami jsou existence ekvilibria, existence nejlepších odpovědí a existence slabě kon- vergentní podposloupnosti v posloupnosti pravděpodobnostních měr. V práci uvedeme, za jakých postačujících podmínek plynoucích z literatury existuje ekvilibrium hry a nejlepší odpovědi obou hráčů. Jako nový důsledek ukážeme, že za předpokladu, že jedna množina strategií je kompaktní, jsou klíčové předpoklady pro existenci řešení a existenci nejlepších odpovědí ekvivalentní. Dále se věnujeme možnému důkazu konvergecne algoritmu. Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/20.500.11956/211538 2026-01-01T00:00:00Z