http://hdl.handle.net/20.500.11956/1903 Faculty of Mathematics and Physics 2026-07-05T00:13:44Z http://hdl.handle.net/20.500.11956/210180 Probabilistic Games on Graphs, Random Walks, and Resistance Distances This doctoral thesis deals with entertaining combinatorial problems, random walks on graphs, and their connections with resistance distances. It focuses on a certain chip-firing process known as the probabilistic abacus, and shows its connection with counting arborescences of graphs. A considerable portion of the dissertation is devoted to the calculation of the winning probabilites in the game of Pass the Buck. Another major topic is the calculation of resistance distances in electrical networks, in particular on complete graph joins and hypercubes. The final part contains new identities for k-Fibonacci numbers, in particular closed formulas for their convolutions. 1; Tato disertační práce se zabývá zábavnými kombinatorickými úlohami, náhodnými procházkami na grafech a jejich souvislostmi s rezistenčními vzdálenostmi. Zaměřuje se na jistý proces typu chip-firing známý jako pravděpodobnostní počítadlo a ukazuje jeho souvislost s počítáním arborescencí grafů. Značná část disertace je věnována výpočtu pravděpodobností výhry ve hře Pass the Buck. Dalším hlavním tématem je výpočet rezistenčních vzdáleností v elektrických sítích, zejména na spojení grafů a na hyperkrychlích. Závěrečná část obsahuje nové identity pro k-Fibonacciho čísla, zejména vzorce pro jejich konvoluce. 1 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/20.500.11956/210162 Reliability of Networks Finding the maximum flow is one of the most fundamental problems of theoretical computer science, crucial both in countless practical applications, as well as in theoretical connections to other combinatorial problems. In the usual setting, the flow is found in a static, unchanging network. However, in the real world, failures can occur-pipes burst, wires fail, roads get blocked-often at random. In this thesis, we study how these failures affect the ability of the network to carry flow. We delve into the area of network reliability, analyze its combinatorial properties, show that it is hard to compute, and investigate how to approximate it. We define d-reliability as the probability that a network with randomly failing capacities enables a flow of size at least d. As the main result, we show that if the treewidth of the network and the demand we impose on the flow are bounded, then the d-reliability is computable efficiently.; Hledání maximálního toku je jedním z nejzásadnějších problémů teoretické informa- tiky, a to jak díky široké škále aplikací, tak díky spoustě souvislostí s dalšími kombina- torickými problémy. Standardně se toky hledají ve statických sítích, jejichž kapacity se nemění. V realitě ale sítě nefungují stoprocentně - potrubí praská, dráty selhávají, nehody mohou zablokovat silnice - často téměř náhodně. V této práci proto studujeme, jak tyto výpadky ovlivňují schopnost sítě vést maximální tok. Prozkoumáme zde tzv. spolehlivost sítě, analyzujeme její kombinatorické vlastnosti, ukážeme, že je obecně těžké ji spočítat, a prozkoumáme možnosti její aproximace. Definujeme d-spolehlivost jako pravděpodob- nost, že sítí s náhodnými výpadky v kapacitě stále zvládne protéct tok o velikosti alespoň d. Jako hlavní výsledek této práce ukážeme, že pokud jsou požadavek d a stromová šířka sítě omezené, pak jsme schopni d-spolehlivost spočítat efektivně. 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/20.500.11956/210161 Shannon switching game and variants The Shannon Switching Game is a two-player combinatorial game on a graph: Short maintains connectivity between two vertices while Cut tries to destroy it. Lehman's theorem gives a matroidal characterization: Short wins if and only if the graph has two edge-disjoint spanning trees. The thesis presents a self-contained proof with an explicit algorithmic winning strategy for Short. Two generalizations are studied. In the (k, ℓ)-game both players act on multiple edges per round: for the symmetric (k, k)-case, k + 1 edge-disjoint spanning trees are proved sufficient for Short, while the classical necessity fails for k ≥ 2. In the (k, ℓ, P)-repairable Shannon game edge ownership expires after period P, modeling periodic maintenance: two spanning trees are shown sufficient for P ≤ 3, and a general conjecture is stated. Both the Shannon Switching Game and Pinwheel Scheduling are unified as special cases of Repairable Flow Networks, connecting combinatorial game theory with recurrent-task scheduling.; Shannonova prepínacia hra je kombinatorická hra dvoch hráčov na grafe: hráč Short udržiava spojitosť medzi dvoma vrcholmi, zatiaľ čo hráč Cut sa ju snaží prerušiť. Lehma- nova veta poskytuje matroidovú charakterizáciu: Short vyhrá práve vtedy, keď graf ob- sahuje dve hranovo disjunktné kostry. Práca popisuje dôkaz s explicitnou algoritmickou víťaznou stratégiou pre hráča Short. Práca sa zaoberá dvoma zovšeobecneniami. V (k, ℓ)-hre obaja hráči v každom kole ob- sadzujú viacero hrán: pre symetrický prípad (k, k) práca dokazuje, že k + 1 hranovo dis- junktných kostier postačuje pre Short, zatiaľ čo pôvodná podmienka nutnosti pre k ≥ 2 neplatí a nie je zovšeobecniteľná. V (k, ℓ, P)-opraviteľnej Shannonovej hre vlastníctvo hrany vyprší po P kolách, čo modeluje periodickú údržbu: dve kostry sa ukazujú ako postačujúce pre P ≤ 3 a je formulovaná všeobecná hypotéza. Shannonova prepínacia hra aj cyklické plánovanie úloh sú zjednotené ako špeciálne prí- pady opraviteľných sietí tokov, čím sa spája kombinatorická teória hier s plánovaním periodicky sa opakujúcich úloh. 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/20.500.11956/210153 Analytical solution of the motion of a spinning compact binary The upcoming generation of gravitational wave detectors will require more precise waveforms suited for a wider range of binary black hole configurations including general eccentric systems with misaligned spins. The post-Newtonian approach predicts the motion of such objects analytically and accurately for most of their inspiral stage. It has been demonstrated that the Hamiltonian dynamics is Liouville integrable up to the second post-Newtonian order (2PN). In this work, we solve the Hamilton-Jacobi equation in 2PN and construct the action-angle coordinates, analytically solving the general dynamics at this order for the first time. We numerically invert the action-angles, demonstrating the evolution of the position, and the orbital and spin angular momenta. We further outline a procedure for finding the evolution of the physical coordinates in an auxiliary parameter in a closed form.; S nadcházející generací detektorů roste potřeba přesnějších šablon gravitačních vln popisujících obecnější konfigurace binárních černých děr, včetně excentrických systému s obecným nakloněním spinů. Post-newtonovský formalismus předpovídá pohyby tako- výchto systémů analyticky a věrně po většinu fáze spirálování. Liouvilleovská integrabilita hamiltonovské dynamiky do druhého post-newtonovského (2PN) řádu byla dokázána již dříve. V této práci řesíme Hamiltonovu-Jacobiho rovnici ve 2PN a konstruujeme souřad- nice akce-úhel, čímž jako první analyticky nalézáme obecnou dynamiku v tomto řádu. Akční úhly dále numericky invertujeme a demonstrujeme evoluci polohy a orbitálního, respektive spinových momentů hybnosti. Dále nastiňujeme metodu pro nalezení vývoje fyzikálních souřadnic v pomocném evolučním parametru v uzavřené formě. 2026-01-01T00:00:00Z